miércoles, febrero 27, 2008

063. BELLEZA E INUTILIDAD DE LA MATEMATICA

Las ideas matemáticas no se inventan ni elaboran, sino que se descubren. Las matemáticas están "ahí fuera", esperando la mirada correcta y adiestrada que las sepa reconocer. No son una herramienta que el hombre construye para aplicar o para explicarse los fenómenos observables; ni siquiera son una "parte" del universo: son el universo mismo. Cuando este parece no ajustarse a la geometría de Euclides, por ejemplo, es solo que lo percibimos distorsionado. La tarea del matemático será el ajuste entre la realidad matemática, previa y externa al hombre (una suerte de mundo platónico), y nuestras defectuosas percepciones de esa realidad. ¿Con qué objetivo? Con el solo objetivo de conocer, lo que puede proporcionar, como mucho, cierta utilidad estética. ¿Y esas matemáticas que son evidentemente "útiles" para el ingeniero o para el físico? Esas son parte de la "aritmética escolar", y no tienen derecho de pertenecer a la matemática verdadera. (G.H.Hardy. 1940)
Hardy confiesa bien abiertamente que su dedicación a la matemática ha tenido siempre una motivación estética. Y es precisamente en la apasionada exposición que hace en esta obra de la belleza de la matemática donde a mi parecer más brilla y más convincente se muestra. Su análisis de los elementos de esa belleza peculiar que de la actividad matemática resulta, belleza enigmática, seria, profunda, desveladora de hondas y armónicas relaciones en un mundo no menos real que el físico, pone de manifiesto en esa belleza un carácter de permanencia superior incluso a los principales logros más universalmente reconocidos de la creatividad humana.
En contraste profundo con lo anterior, hay una idea reiterada en la obra de Ardí: insiste con fuerza, yo diría también con cierta jactancia y machaconería, en la "inutilidad" de la matemática que él llama "real", es decir la que tiene que ver con ese quehacer elevado y recóndito que es el que ha atraído de veras a los grandes matemáticos alejados de todo contacto con los mundanales intereses, y sobre todo de la guerra y otros menesteres más o menos sucios. En ella incluye los recientes desarrollos de Einstein, la obra maestra de Gauss en teoría de números,… Esta matemática "real" es también, por supuesto, la suya propia. En 1945, cinco años después de la publicación del libro y dos años antes de la muerte de Hardy, la matemática de Einstein, junto con otros avances de la física, había dado lugar a la bomba atómica. Probablemente las afirmaciones tajantes que se pueden leer en este libro hubieran sido matizadas tras un acontecimiento como éste.
Parecería que incluso el matemático que se siente únicamente motivado por el placer estético presente en el quehacer propio de la matemática debería pensar de modo distinto al que Hardy propone. Tal placer se puede producir, no tan sólo en la creación de esa matemática "real", lo que suele ser privilegio de unos pocos e incluso para ellos de unos pocos instantes, sino también en la contemplación de la belleza matemática, creada por quien sea, así como en la participación con otros de ese goce estético que esa contemplación es capaz de producir. A mi parecer, hay algo en la actitud profunda de Hardy que le privó de este gozo posible que otros experimentamos también en la contemplación individual y en la transmisión a otros de esta belleza que implica la enseñanza a diversos niveles. Como Hardy mismo afirma él consideró la matemática esencialmente como un ejercicio competitivo, en el que lo importante es hacerlo mejor que los demás. Es verdad que hay matemáticos que comparten esta visión. Pero no creo que sea esta una actitud sana, ni muy generalizada, y me imagino que los que la comparten no son los más satisfechos con su dedicación a la matemática. (Miguel de Guzmán. 1999)

062. CIENCIA Y MATEMATICA + TEXTOS

“Durante los primeros años de trabajo en la conjetura había acumulado unos cuantos resultados intermedios, los denominados “lemas” o teoremas menores, algunos de los cuales eran de indudable interés, material suficiente para varias publicaciones interesantes. Sin embargo nunca había pensado con seriedad en hacerlos públicos.” (70)

“Cualquiera que afirme que los científicos, incluso los mas puros de los puros, los mas abstractos y brillantes matemáticos, trabajan motivados exclusivamente por la búsqueda de la Verdad en aras de la humanidad, o bien no sabe de qué habla o miente con descaro. Aunque es posible que los miembros con mayores inclinaciones espirituales de la comunidad científica sean indiferentes a las ganancias materiales, no hay uno entre ellos que no esté guiado por la ambición y un fuerte afán competitivo. (Naturalmente en el campo de las grandes hazañas matemáticas el número de contrincante es limitado; de hecho, cuanto mayor sea la hazaña, mas limitado es. Dado que los rivales para el triunfo son unos pocos elegidos, la flor y nata, la competencia se convierte en una auténtica gigantomaquia, una lucha entre gigantes). Aunque al embarcarse en una importante investigación el matemático declare que su intención es descubrir la verdad, la auténtica materia prima de sus sueños es la Gloria”. (62)

“Las matemáticas son una actividad de hombres jóvenes. Se trata de una de las pocas disciplinas humanas (en este sentido muy parecida al deporte) en que la juventud es un requisito indispensable para destacar. Petros, como todos los matemáticos jóvenes, conocía las deprimentes estadísticas: en toda la historia de esa ciencia eran contadísimas las personas que habían hecho un descubrimiento importante después de los treinta y cinco o cuarenta años. Rieman (función zeta) había muerto a los treinta y nueve; Niels Henrik Abel (integrales), a los veintisiete, y Evariste Galois (los grupos) a la trágica edad de veinte. Y aunque Euler y Gauss produjeron teoremas a edades avanzadas, hicieron sus descubrimientos mas importantes en la primera juventud.”. (63)

“Cuando regresé a mi universidad, leí las biografías de los grandes matemáticos que habían desempeñado algún papel en la historia de mi tío Petros. De los seis mencionados sólo dos, apenas un tercio, habían tenido una vida personal mas o menos feliz y eran los menos relevantes. Ardí y Ramanujan habían intentado suicidarse (el primero dos veces) y Turing lo había conseguido. Gödel se encontraba en un estado lamentable (y posteriormente se quitó la vida mientras recibía tratamiento en un hospital: murió por desnutrición porque se negó a recibir alimentos pensando que los médicos querían envenenarlo).” (126)

“Las preguntas zumbaban en su mente como mosquitos: ¿obtendría otros descubrimientos tan importantes como los dos primeros?, ¿habría comenzado ya el inevitable declive sin que él lo advirtiera? Cada pequeño olvido, cada insignificante error de cálculo, cada fugaz pérdida de concentración conducía al ominosa cantinela: ¿ha pasado ya mi mejor momento?” (74)

“Ahora estaba en pleno apogeo de su capacidad, en una fase de creatividad que no podía durar mucho tiempo. Era el momento de hacer un gran descubrimiento, si es que estaba destinado a hacerlo. (…) La soledad del investigador matemático no se parece a la de ningún otro. En un sentido literal, vive en un universo totalmente inaccesible, tanto para el público en general como para su entorno inmediato. Ni siquiera las personas mas allegadas pueden compartir sus penas y alegrías, pues les resulta imposible comprender su contenido. La única comunidad a la que puede pertenecer un matemático creativo es la de sus colegas”. (72)

“En su importante obra, la naturaleza del descubrimiento matemático, Henri Poincaré destierra el mito del matemático como ser totalmente racional. Basándose tanto en ejemplos tomados de la historia como en su propia experiencia, hace hincapié en el papel del inconsciente en la investigación. A menudo los grandes descubrimientos se hacen de manera inesperada, en una revelación que se produce en un momento de reposo; naturalmente, esto sólo puede suceder a mentes preparadas durante meses o años de trabajo consciente. Es en este aspecto de los mecanismos de la mente del matemático que los sueños de revelación pueden desempeñar un papel importante, a veces señalando el camino a través del cual el inconsciente anuncia sus conclusiones a la mente consciente”. (76. nota)

“Intuición. Es la única herramienta que le queda al matemático en ausencia de una prueba. No hay otra explicación posible para una verdad tan esencia, tan sencilla de enunciar y a la vez tan inconcebiblemente resistente a cualquier razonamiento sistemático. Sin darme cuenta escogí una tarea como la Sísifo”. (114)

“¡Debemos saber y sabremos! ¡En matemática no hay ignorabimus! Eso dijo el gran David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemática de 1900, proclamando a las matemáticas como el paraíso de la Verdad Absoluta. El sueño de Euclides, la visión de un todo coherente y completo! El sueño de Euclides había sido transformar una colección arbitraria de observaciones numéricas y geométricas en un sistema perfectamente articulado, en el que sería posible partir de verdades elementales aceptadas a priori y progresar paso a paso aplicando operaciones lógicas para demostrar con rigor todas las proposiciones verdaderas. Las matemáticas son como un árbol con raíces firmes (los axiomas), un tronco fuerte (demostración rigurosa) y ramas que crecen constantemente y dan flores maravillosas (teoremas). Los practicantes de todas las nuevas disciplinas de la matemática que continúan emergiendo en nuestros días (ramas nuevas del mismo y viejo árbol) nunca se han desviado del camino del gran pionero: axiomas, pruebas rigurosas, teoremas”. (89)

GODEL (1906 – 1978) = “PETROS veía los incansables intentos (de la lógica formal) de fijar fundamentos rigurosos y el examen exhaustivo de los principios básicos casi como una pérdida de tiempo. El dicho popular según el cual “si algo funciona, mejor no tocarlo” podría ilustrar su actitud: el trabajo de un matemático no consistía en reflexionar constantemente sobre las bases tácitas e incuestionables de los teoremas, sino en tratar de demostrarlos. (…) El “problema de la completad” no era otra cosa que la búsqueda de una demostración formal del hecho de todas las proposiciones verdaderas son demostrables. (…) Para el investigador activo la completitud de las matemáticas siempre ha sido evidente. (…) Godel ha demostrado y de manera concluyente, que con independencia de los axiomas que se acepten, una teoría de número necesita, forzosamente, contener proposiciones que no puedan demostrarse: proposiciones verdaderas que son indemostrables. (…) Russel y Whitehead han declarado, tras examinar la demostración de Gödel, que es irreprochable. Pero, ¿si es que en realidad lo prueba, no es el fin de las matemáticas? (…) Gödel investiga algunos casos muy especiales, estudia paradojas en apariencia inherentes a todos los sistemas axiomáticos. ¿Qué tiene eso que ver con nosotros, los matemáticos que estamos en la línea de combate? ¿Es que no te has dado cuenta? A partir de ahora tendremos que preguntarnos si el teorema de la incompletitud puede aplicarse a cada proposición no demostrada… ¡Toda hipótesis o conjetura importante puede ser indemostrable a priori! “(105 – 106)
TURING (1912 – 1954) había conseguido establecer que mientras una proposición permaneciese indemostrada, no existía manera de prever si la verificación era imposible o simplemente difícil. (111)

Es decir que cualquier proposición según GÖDEL puede ser indemostrable… pero según TURING – mientras permanece indemostrada – no podemos saber si es imposible de hacerlo o sólo muy difícil.
“Se debería señalar para el profano en la materia que los libros de matemáticas no suelen leerse como novelas, en la cama, la bañera, un cómodo sillón o sentados en la taza del váter. En este caso, leer significa entender y para ello es preciso contar con una superficie dura, papel, lápiz y bastante tiempo libre. “(136)
Leopold Kronecker dijo: “Nuestro amado Dios creó los enteros: todo lo demás es obra del hombre”.(143) “La aparente ausencia de un principio establecido de organización, en la distribución o sucesión de los números primos había traído de cabeza a los matemáticos durante siglos y proporcionado gran parte de su atractivo a la teoría de números. En efecto, era un gran misterio, digno de la mas elevada inteligencia: puesto que los números primos son los ladrillos de los enteros y los enteros son la base de nuestro entendimiento lógico del cosmos, ¿Cómo es posible que su forma no esté determinada por una ley? ¿Por qué la divina geometría no resultaba obvia en este caso?”. (67)

martes, febrero 26, 2008

061. DOXIADIS, TIO PETROS Y CONJETURAS SOBRE LAS CIENCIAS

01. Aunque es una novela que tiene un ritmo narrativo agradable, se nota que está escrita por un matemático para que la disfruten, especialmente, los matemáticos. La intención es ir marcando algunos puntos significativos de la historia de las ideas matemáticas y, sobre todo, mostrar los procesos de avance y descubrimiento propios de la ciencia.

02. Hay dos vidas que se cruzan con expectativas diversas: la del TIO y la del NARRADOR. El vínculo con las matemáticas de uno y otro es diverso. El TIO da la vida por ella; el sobrino trata de rescatar a su tío al mismo tiempo que prefiere elegir una vida mas relacionada con lo real. El esfuerzo del sobrino es tratar de comprender y rescatar la memoria de su tío; la misión del tío es descubrir las potencialidades del sobrino y marcarle sus límites.

03. Hay un MUNDO muy complejo – y por cierto nada placentero - pero ciertamente rico en torno a las matemáticas. Ese mundo está mucho más allá de la matemática que se aprende y se enseña en todos los niveles. De alguna manera la matemática que se aprende y que se enseña se maneja con los recursos instrumentales que permiten disponer de los medios para acceder a ese universo al que sólo puede ingresar algunos elegidos. Los padecimientos de la búsqueda de la verdad o de la innovación encuentran en el éxito final o en el reconocimiento académico todos los beneficios. Más que el dinero, hay mucho de gloria, de legado para la posteridad, de la posibilidad de ser recordados por las generaciones futuras, de ponerle nombre a los teoremas, a las proposiciones, a las conjeturas.

04. La verdadera pasión combina placer, obsesión, cierta locura y mucha voluntad. PETROS, como todos los matemáticos que han trascendido, no tiene una vida apacible, sino que combina todos esos ingredientes. Es el precio que se paga por la genialidad: olvido del tiempo, de los horarios, de los compromisos, de la vida personal, del entorno… hasta de la docencia. El ensimismamiento propio de la investigación, la más absoluta soledad se asocia al placer de la búsqueda o al goce del descubrimiento. Pero el riesgo no es menor: uno puede invertir toda una vida sin lograr poseer nunca la verdad, sin alcanzar a resolver lo que se pretendía, sin llegar a la tierra prometida.

05. Frecuentemente los matemáticos (o los hombres de ciencia) no logran darle la verdadera dimensión a todo lo que logran mientras caminan hacia el descubrimiento que los obsesiona. Los descubrimientos intermedios – a veces instrumentales – suelen ser aportes muy valiosos, pasaporte a una gloria que no imaginan ni disfrutan… porque la luz de la meta que buscan los enceguece. Hay que tener la grandeza de reconocer hasta dónde se puede llegar y la humildad para reconocer lo que uno ya ha conquistado.

05. Doxiadis escribe la novela para regalarnos un breve panorama de la matemática contemporánea de sus debates, ya que la mayoría de los nombres y personales remiten a matemáticos del siglo XX que han aportado sus contribuciones y debates a la matemática.

06. Detrás de los diálogos y de las discusiones, el fondo de la cuestión sigue siendo la relación que se establece entre la matemática y la realidad, entre la investigación matemática y la matemática instrumental, entre sus construcciones a priori y las matemáticas aplicadas, entre la búsqueda racional y la imaginación, entre las construcciones mentales y las intuiciones.

07. Aunque DOXIADIS hable de matemática, en realidad habla de ciencia. Los caracteres del conocimiento matemático se presentan como paradigmas de todo conocimiento científico. Y el científico de otras áreas comparte muchos de los caracteres que la ciencia, los científicos y la historia de cada ciencia exhiben.

sábado, febrero 23, 2008

060. CIENCIA Y CONOCIMIENTO EN EL MEDIOEVO

Una simplificación de la historia de la ciencia tiende a reducir y a confundir el conflicto pre-copernicano y esencialmente medieval a la defensa exagerada de la filosofía y de la ciencia aristotélica. Conviene marcar sin embargo, que el sentido común (o el respeto a los fenómenos) puede tener posiciones pre-aristotélica: la sujeción a las páginas de la biblia (de contenido religioso y sin ninguna intención científica) podía alentar posiciones contrarias a las formuladas por los griegos, especialmente en el campo de la cosmología. Un cuerpo de saberes mas significativo (los religiosos y los filosófico-teológicos) presionaban sobre aportes científico, generando mayor grado de adhesión(creencia) y convencimiento (psicología) por sobre los aspectos estrictamente lógicos (interpretación del fenómeno). Es necesario remarcar, por lo tanto, que:
(1) La primera oposición que se da en el seno de la cultura medieval (bajo indiscutibles influencias religiosas) es el enfrentar el patrimonio griego en general y las obras Aristotélicas en particular. Se suponía que venía a desplazar conocimiento que tenían otras referencias mucho más confiables. Esas concepciones cosmológicas (y pseudocientíficas, en general) pudieron subsistir, contrariando afirmaciones que la ciencia terminó por incorporar, hasta muy entrada la edad moderna...
(2) Cuando la ciencia aristotélica conquista su lugar y se hace patrimonio de la escolástica floreciente, su defensa absoluta y su indiscutible preeminencia constituyó también otro freno para el avance del conocimiento. El mirar la realidad “con ojos aristotélicos” representó una barrera para quienes pretendían acceder con otros criterios y con mayor libertad especulativa al conjunto de lo real.
(3) En síntesis: la edad media ofrece paradójicamente una doble actitud: contra Aristóteles y sujetos a Aristóteles. Sus representantes diseñaron un tipo de conocimiento científico que sólo podía ser removido a través de una revolución en el saber, un atrevimiento intelectual, que culturalmente no fue generosamente aceptado. Cuando Copérnico (siglo XV) y Galileo (siglo XVI) luchen por imponer una nueva visión de la real deberán luchar contra el imperio de los fenómenos de la tradición aristotélica y el sentido común cargado de otras influencias de la visión de la realidad y del cosmo pre-aristotélica.
[1]
(1) Por ejemplo, ¿podría interpretarse en esta dirección los argumentos de COLON para realizar sus viajes a las INDIAS y probar la esfericidad de la tierra? ¿Se trata de dos verdades: la de la gente común – entre ellos los gobernantes – y la de los hombres de ciencia? ¿COLON intenta convertir los conocimientos ya consagrados por hombre de ciencia en arma de descubrimiento, conocimiento y conquista?

viernes, febrero 15, 2008

059. FILOSOFIA CURIOSA

Es sabido que los filósofos se casan menos que los miembros de otros gremios. En efecto, abundan entre ellos los solterones: Platón, Plotino, Descartes, Pascal, Spinoza, Locke, Leibniz, Voltaire, Kant, Schopenhauer, Kierkegaard, Wittgenstein... Otros, como Aristóteles, Maimónides, Thomas More o Hannah Arendt, se casaron dos veces. Y Lévi-Strauss, tres. Y Bertrand Russell le sacó libro a sus cuatro matrimonios.
La filosofía es una carrera, aunque no la del filósofo Francis Bacon que además fue diputado, sir, fiscal, juez, ministro de Justicia, gran canciller y conde. Los filósofos suelen ser varones (99%) y comunicar su saber mediante libros (98%), escritos en la lengua predominante (91%), mientras están solteros (70%). El filósofo es, por otra parte, mayormente huérfano: 69% de los No hubo nadie más consensual que Leibniz: “Ecléctico, conciliador, diplomático”. También fue el más precoz –17 años– y el más inventivo: innovó en filosofía, creó en matemáticas –fue el “más matemático”, con Descartes y Pascal–, construyó máquinas... Y prolífico: dejó 200.000 páginas manuscritas –incluidas 16.000 cartas– en la biblioteca de Hannover. Claro que Voltaire legó a 18.000 cartas. Y Husserl, con treinta volúmenes editados, guardaba 45.000 páginas en casa.
Si “el más poderoso, desde un punto de vista político”, fue Marco Aurelio (emperador de 161 a 180) o Petrus Hispanus (papa Juan XXI, de 1276 a 1277), el más temido habría sido Bernard de Clairvaux, padre del Císter (1090-1153). Parece que tenía fácil el dedo de señalar herejes. En cambio, Giordano Bruno sufrió ocho años de cárcel, tortura y a la pira en 1600. (Anáxagoras, 20 siglos atrás, inauguró la nómina de condenados por impíos).
Montaigne es “el más plagiario”, Pico de la Mirandola podía copiar en toscano, latín, griego, árabe, hebreo y arameo. Pero el gran políglota fue Spinoza: hablaba portugués, castellano, hebreo, holandés, latín, francés e italiano.
John Stuart Mill fue el filósofo más feminista (“para su época”); el más distinguido en vida, Bergson: Academia de Ciencias y Academia de Francia, primer filósofo premio Nobel (literatura), Epicteto, esclavo liberto. Y si Marx fue el más pobre, junto con Diógenes.Pascal fue “el más enfermo: migraña, dolor de estómago, parálisis, neurosis de abandono, melancolía, fobia del vacío...”.Séneca, con sus 400 millones de sestercios, fue el mas rico.
La primera filósofa fue la mujer de Pitágoras (500 a.C.); el primer agnóstico, el sofista Protágoras; el primer anarquista William Godwin (1793); el primer autor de un libro, Anaximandro (547 a.C.); el primer líder de una escuela, Pitágoras (532 a.C.);Primer existencialista? Kierkegaard. Y Montesquieu, primer francmasón. Pionero del idealismo, Parménides (456 a.C.). Con espléndida zambullida en el Etna (c. 435 a.C.), Empédocles se transformó en el primer filósofo suicida.
Pierre Riffard Les philosophes: vie intime. La vida íntima de los Filósofos. Síntesis de Oscar Caballero. La Vanguardia. 2004

lunes, febrero 11, 2008

058. PALABRA, DIALOGO, HERMENEUTICA

“La confusión babélica de las lenguas no significa sólo que la variedad de las familias lingüísticas y de los idiomas sea producto del orgullo humano, como supone la tradición bíblica. Esa variedad expresa toda la distancia que media entre un ser humano y otro y que crea permanentemente la confusión. Pero eso encierra también la posibilidad de la superación. Porque el lenguaje es diálogo. Es preciso buscar la palabra y se puede encontrar la palabra que alcance al otro, se puede incluso aprender la lengua ajena, la del otro. Se puede emigrar al lenguaje del otro hasta alcanzar al otro. Todo esto puede hacerlo el lenguaje como lenguaje.Es cierto que el nexo que se crea en forma de lenguaje para entenderse está entretejido sustancialmente de cháchara, que es la apariencia del hablar y hace de la conversación un intercambio de palabras vacías. Lacan ha dicho con razón que la palabra que no va dirigida a otro es una palabra huera. Es lo que constituye el primado de la conversación que se desenvuelve entre pregunta y respuesta y construye así el lenguaje común. Hay una conocida experiencia en el diálogo de personas que hablan dos idiomas distintos, pero pueden entenderse medianamente: sobre esta base no se puede sostener una conversación, sino que se libra en realidad una larga lucha hasta que ambos terminan hablando una de las dos lenguas, aunque uno de ellos bastante mal. Es una experiencia que puede hacer cualquiera. El fenómeno encierra una sugerencia significativa. No se da sólo entre hablantes de distintos idiomas, sino igualmente en la adaptación recíproca de las partes en cada conversación sostenida en la misma lengua. Sólo la respuesta real o posible hace que una palabra sea tal. “
Hans Georg Gadamer: Verdad y Método

057. VERDAD Y METODO

“Y sin embargo, eso es lo importante, ¿cómo es que planteamos nuestras preguntas?, ¿a qué respondemos cuando las planteamos? No hay ningún problema llovido del cielo. ¿Qué es lo que despierta nuestro interés? Esto sí es lo primero. Al inicio de todo intento de comprender hay un sentirse aludido, como una pregunta a la que hay que responder que coloca en lo incierto el saber del intérprete, que le incita al habla. Para responder, el aludido comienza a su vez por preguntar, y nadie pregunta desde sí mismo. Todo lo demás es ideología cientificista. No, la comprensión no aparece al final de la investigación científico-espiritual de un objeto, está ya al comienzo y domina paso a paso el todo”.

Hans Georg Gadamer: Verdad y Método

viernes, febrero 08, 2008

056. HERACLITO DE EFESO

Aunque esta razón existe siempre,
los hombres se tornan incapaces de comprenderla,
tanto antes de oírla como una vez que la han oído.
En efecto, aun cuando todo sucede según esta razón,
parecen inexpertos al experimentar con palabras y acciones
tales como las que yo describo,
cuando distingo cada una según la naturaleza
y muestro cómo es; pero a los demás hombres
les pasan inadvertidas cuantas cosas hacen despiertos,
del mismo modo que les pasan inadvertidas
cuantas hacen mientras duermen.
Fragmento 22 B 1

Por lo cual es necesario seguir a lo común;
pero aunque la razón es común,
la mayoría viven como si tuvieran una inteligencia particular.
Fragmento 22 B 2

Cuando se escucha, no a mí, sino a la Razón,
es sabio convenir en que todas las cosas son una.
Fragmento 22 B 50

A la naturaleza le place ocultarse
Fragmento 22 B 123


Traducción de Conrado Eggers Lan y Victoria E. Juliá, enLos filósofos presocráticos, Gredos, Madrid, España,1978.