“Durante los primeros años de trabajo en la conjetura había acumulado unos cuantos resultados intermedios, los denominados “lemas” o teoremas menores, algunos de los cuales eran de indudable interés, material suficiente para varias publicaciones interesantes. Sin embargo nunca había pensado con seriedad en hacerlos públicos.” (70)
“Cualquiera que afirme que los científicos, incluso los mas puros de los puros, los mas abstractos y brillantes matemáticos, trabajan motivados exclusivamente por la búsqueda de la Verdad en aras de la humanidad, o bien no sabe de qué habla o miente con descaro. Aunque es posible que los miembros con mayores inclinaciones espirituales de la comunidad científica sean indiferentes a las ganancias materiales, no hay uno entre ellos que no esté guiado por la ambición y un fuerte afán competitivo. (Naturalmente en el campo de las grandes hazañas matemáticas el número de contrincante es limitado; de hecho, cuanto mayor sea la hazaña, mas limitado es. Dado que los rivales para el triunfo son unos pocos elegidos, la flor y nata, la competencia se convierte en una auténtica gigantomaquia, una lucha entre gigantes). Aunque al embarcarse en una importante investigación el matemático declare que su intención es descubrir la verdad, la auténtica materia prima de sus sueños es la Gloria”. (62)
“Las matemáticas son una actividad de hombres jóvenes. Se trata de una de las pocas disciplinas humanas (en este sentido muy parecida al deporte) en que la juventud es un requisito indispensable para destacar. Petros, como todos los matemáticos jóvenes, conocía las deprimentes estadísticas: en toda la historia de esa ciencia eran contadísimas las personas que habían hecho un descubrimiento importante después de los treinta y cinco o cuarenta años. Rieman (función zeta) había muerto a los treinta y nueve; Niels Henrik Abel (integrales), a los veintisiete, y Evariste Galois (los grupos) a la trágica edad de veinte. Y aunque Euler y Gauss produjeron teoremas a edades avanzadas, hicieron sus descubrimientos mas importantes en la primera juventud.”. (63)
“Cuando regresé a mi universidad, leí las biografías de los grandes matemáticos que habían desempeñado algún papel en la historia de mi tío Petros. De los seis mencionados sólo dos, apenas un tercio, habían tenido una vida personal mas o menos feliz y eran los menos relevantes. Ardí y Ramanujan habían intentado suicidarse (el primero dos veces) y Turing lo había conseguido. Gödel se encontraba en un estado lamentable (y posteriormente se quitó la vida mientras recibía tratamiento en un hospital: murió por desnutrición porque se negó a recibir alimentos pensando que los médicos querían envenenarlo).” (126)
“Las preguntas zumbaban en su mente como mosquitos: ¿obtendría otros descubrimientos tan importantes como los dos primeros?, ¿habría comenzado ya el inevitable declive sin que él lo advirtiera? Cada pequeño olvido, cada insignificante error de cálculo, cada fugaz pérdida de concentración conducía al ominosa cantinela: ¿ha pasado ya mi mejor momento?” (74)
“Ahora estaba en pleno apogeo de su capacidad, en una fase de creatividad que no podía durar mucho tiempo. Era el momento de hacer un gran descubrimiento, si es que estaba destinado a hacerlo. (…) La soledad del investigador matemático no se parece a la de ningún otro. En un sentido literal, vive en un universo totalmente inaccesible, tanto para el público en general como para su entorno inmediato. Ni siquiera las personas mas allegadas pueden compartir sus penas y alegrías, pues les resulta imposible comprender su contenido. La única comunidad a la que puede pertenecer un matemático creativo es la de sus colegas”. (72)
“En su importante obra, la naturaleza del descubrimiento matemático, Henri Poincaré destierra el mito del matemático como ser totalmente racional. Basándose tanto en ejemplos tomados de la historia como en su propia experiencia, hace hincapié en el papel del inconsciente en la investigación. A menudo los grandes descubrimientos se hacen de manera inesperada, en una revelación que se produce en un momento de reposo; naturalmente, esto sólo puede suceder a mentes preparadas durante meses o años de trabajo consciente. Es en este aspecto de los mecanismos de la mente del matemático que los sueños de revelación pueden desempeñar un papel importante, a veces señalando el camino a través del cual el inconsciente anuncia sus conclusiones a la mente consciente”. (76. nota)
“Intuición. Es la única herramienta que le queda al matemático en ausencia de una prueba. No hay otra explicación posible para una verdad tan esencia, tan sencilla de enunciar y a la vez tan inconcebiblemente resistente a cualquier razonamiento sistemático. Sin darme cuenta escogí una tarea como la Sísifo”. (114)
“¡Debemos saber y sabremos! ¡En matemática no hay ignorabimus! Eso dijo el gran David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemática de 1900, proclamando a las matemáticas como el paraíso de la Verdad Absoluta. El sueño de Euclides, la visión de un todo coherente y completo! El sueño de Euclides había sido transformar una colección arbitraria de observaciones numéricas y geométricas en un sistema perfectamente articulado, en el que sería posible partir de verdades elementales aceptadas a priori y progresar paso a paso aplicando operaciones lógicas para demostrar con rigor todas las proposiciones verdaderas. Las matemáticas son como un árbol con raíces firmes (los axiomas), un tronco fuerte (demostración rigurosa) y ramas que crecen constantemente y dan flores maravillosas (teoremas). Los practicantes de todas las nuevas disciplinas de la matemática que continúan emergiendo en nuestros días (ramas nuevas del mismo y viejo árbol) nunca se han desviado del camino del gran pionero: axiomas, pruebas rigurosas, teoremas”. (89)
GODEL (1906 – 1978) = “PETROS veía los incansables intentos (de la lógica formal) de fijar fundamentos rigurosos y el examen exhaustivo de los principios básicos casi como una pérdida de tiempo. El dicho popular según el cual “si algo funciona, mejor no tocarlo” podría ilustrar su actitud: el trabajo de un matemático no consistía en reflexionar constantemente sobre las bases tácitas e incuestionables de los teoremas, sino en tratar de demostrarlos. (…) El “problema de la completad” no era otra cosa que la búsqueda de una demostración formal del hecho de todas las proposiciones verdaderas son demostrables. (…) Para el investigador activo la completitud de las matemáticas siempre ha sido evidente. (…) Godel ha demostrado y de manera concluyente, que con independencia de los axiomas que se acepten, una teoría de número necesita, forzosamente, contener proposiciones que no puedan demostrarse: proposiciones verdaderas que son indemostrables. (…) Russel y Whitehead han declarado, tras examinar la demostración de Gödel, que es irreprochable. Pero, ¿si es que en realidad lo prueba, no es el fin de las matemáticas? (…) Gödel investiga algunos casos muy especiales, estudia paradojas en apariencia inherentes a todos los sistemas axiomáticos. ¿Qué tiene eso que ver con nosotros, los matemáticos que estamos en la línea de combate? ¿Es que no te has dado cuenta? A partir de ahora tendremos que preguntarnos si el teorema de la incompletitud puede aplicarse a cada proposición no demostrada… ¡Toda hipótesis o conjetura importante puede ser indemostrable a priori! “(105 – 106)
TURING (1912 – 1954) había conseguido establecer que mientras una proposición permaneciese indemostrada, no existía manera de prever si la verificación era imposible o simplemente difícil. (111)
Es decir que cualquier proposición según GÖDEL puede ser indemostrable… pero según TURING – mientras permanece indemostrada – no podemos saber si es imposible de hacerlo o sólo muy difícil.
“Cualquiera que afirme que los científicos, incluso los mas puros de los puros, los mas abstractos y brillantes matemáticos, trabajan motivados exclusivamente por la búsqueda de la Verdad en aras de la humanidad, o bien no sabe de qué habla o miente con descaro. Aunque es posible que los miembros con mayores inclinaciones espirituales de la comunidad científica sean indiferentes a las ganancias materiales, no hay uno entre ellos que no esté guiado por la ambición y un fuerte afán competitivo. (Naturalmente en el campo de las grandes hazañas matemáticas el número de contrincante es limitado; de hecho, cuanto mayor sea la hazaña, mas limitado es. Dado que los rivales para el triunfo son unos pocos elegidos, la flor y nata, la competencia se convierte en una auténtica gigantomaquia, una lucha entre gigantes). Aunque al embarcarse en una importante investigación el matemático declare que su intención es descubrir la verdad, la auténtica materia prima de sus sueños es la Gloria”. (62)
“Las matemáticas son una actividad de hombres jóvenes. Se trata de una de las pocas disciplinas humanas (en este sentido muy parecida al deporte) en que la juventud es un requisito indispensable para destacar. Petros, como todos los matemáticos jóvenes, conocía las deprimentes estadísticas: en toda la historia de esa ciencia eran contadísimas las personas que habían hecho un descubrimiento importante después de los treinta y cinco o cuarenta años. Rieman (función zeta) había muerto a los treinta y nueve; Niels Henrik Abel (integrales), a los veintisiete, y Evariste Galois (los grupos) a la trágica edad de veinte. Y aunque Euler y Gauss produjeron teoremas a edades avanzadas, hicieron sus descubrimientos mas importantes en la primera juventud.”. (63)
“Cuando regresé a mi universidad, leí las biografías de los grandes matemáticos que habían desempeñado algún papel en la historia de mi tío Petros. De los seis mencionados sólo dos, apenas un tercio, habían tenido una vida personal mas o menos feliz y eran los menos relevantes. Ardí y Ramanujan habían intentado suicidarse (el primero dos veces) y Turing lo había conseguido. Gödel se encontraba en un estado lamentable (y posteriormente se quitó la vida mientras recibía tratamiento en un hospital: murió por desnutrición porque se negó a recibir alimentos pensando que los médicos querían envenenarlo).” (126)
“Las preguntas zumbaban en su mente como mosquitos: ¿obtendría otros descubrimientos tan importantes como los dos primeros?, ¿habría comenzado ya el inevitable declive sin que él lo advirtiera? Cada pequeño olvido, cada insignificante error de cálculo, cada fugaz pérdida de concentración conducía al ominosa cantinela: ¿ha pasado ya mi mejor momento?” (74)
“Ahora estaba en pleno apogeo de su capacidad, en una fase de creatividad que no podía durar mucho tiempo. Era el momento de hacer un gran descubrimiento, si es que estaba destinado a hacerlo. (…) La soledad del investigador matemático no se parece a la de ningún otro. En un sentido literal, vive en un universo totalmente inaccesible, tanto para el público en general como para su entorno inmediato. Ni siquiera las personas mas allegadas pueden compartir sus penas y alegrías, pues les resulta imposible comprender su contenido. La única comunidad a la que puede pertenecer un matemático creativo es la de sus colegas”. (72)
“En su importante obra, la naturaleza del descubrimiento matemático, Henri Poincaré destierra el mito del matemático como ser totalmente racional. Basándose tanto en ejemplos tomados de la historia como en su propia experiencia, hace hincapié en el papel del inconsciente en la investigación. A menudo los grandes descubrimientos se hacen de manera inesperada, en una revelación que se produce en un momento de reposo; naturalmente, esto sólo puede suceder a mentes preparadas durante meses o años de trabajo consciente. Es en este aspecto de los mecanismos de la mente del matemático que los sueños de revelación pueden desempeñar un papel importante, a veces señalando el camino a través del cual el inconsciente anuncia sus conclusiones a la mente consciente”. (76. nota)
“Intuición. Es la única herramienta que le queda al matemático en ausencia de una prueba. No hay otra explicación posible para una verdad tan esencia, tan sencilla de enunciar y a la vez tan inconcebiblemente resistente a cualquier razonamiento sistemático. Sin darme cuenta escogí una tarea como la Sísifo”. (114)
“¡Debemos saber y sabremos! ¡En matemática no hay ignorabimus! Eso dijo el gran David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemática de 1900, proclamando a las matemáticas como el paraíso de la Verdad Absoluta. El sueño de Euclides, la visión de un todo coherente y completo! El sueño de Euclides había sido transformar una colección arbitraria de observaciones numéricas y geométricas en un sistema perfectamente articulado, en el que sería posible partir de verdades elementales aceptadas a priori y progresar paso a paso aplicando operaciones lógicas para demostrar con rigor todas las proposiciones verdaderas. Las matemáticas son como un árbol con raíces firmes (los axiomas), un tronco fuerte (demostración rigurosa) y ramas que crecen constantemente y dan flores maravillosas (teoremas). Los practicantes de todas las nuevas disciplinas de la matemática que continúan emergiendo en nuestros días (ramas nuevas del mismo y viejo árbol) nunca se han desviado del camino del gran pionero: axiomas, pruebas rigurosas, teoremas”. (89)
GODEL (1906 – 1978) = “PETROS veía los incansables intentos (de la lógica formal) de fijar fundamentos rigurosos y el examen exhaustivo de los principios básicos casi como una pérdida de tiempo. El dicho popular según el cual “si algo funciona, mejor no tocarlo” podría ilustrar su actitud: el trabajo de un matemático no consistía en reflexionar constantemente sobre las bases tácitas e incuestionables de los teoremas, sino en tratar de demostrarlos. (…) El “problema de la completad” no era otra cosa que la búsqueda de una demostración formal del hecho de todas las proposiciones verdaderas son demostrables. (…) Para el investigador activo la completitud de las matemáticas siempre ha sido evidente. (…) Godel ha demostrado y de manera concluyente, que con independencia de los axiomas que se acepten, una teoría de número necesita, forzosamente, contener proposiciones que no puedan demostrarse: proposiciones verdaderas que son indemostrables. (…) Russel y Whitehead han declarado, tras examinar la demostración de Gödel, que es irreprochable. Pero, ¿si es que en realidad lo prueba, no es el fin de las matemáticas? (…) Gödel investiga algunos casos muy especiales, estudia paradojas en apariencia inherentes a todos los sistemas axiomáticos. ¿Qué tiene eso que ver con nosotros, los matemáticos que estamos en la línea de combate? ¿Es que no te has dado cuenta? A partir de ahora tendremos que preguntarnos si el teorema de la incompletitud puede aplicarse a cada proposición no demostrada… ¡Toda hipótesis o conjetura importante puede ser indemostrable a priori! “(105 – 106)
TURING (1912 – 1954) había conseguido establecer que mientras una proposición permaneciese indemostrada, no existía manera de prever si la verificación era imposible o simplemente difícil. (111)
Es decir que cualquier proposición según GÖDEL puede ser indemostrable… pero según TURING – mientras permanece indemostrada – no podemos saber si es imposible de hacerlo o sólo muy difícil.
“Se debería señalar para el profano en la materia que los libros de matemáticas no suelen leerse como novelas, en la cama, la bañera, un cómodo sillón o sentados en la taza del váter. En este caso, leer significa entender y para ello es preciso contar con una superficie dura, papel, lápiz y bastante tiempo libre. “(136)
Leopold Kronecker dijo: “Nuestro amado Dios creó los enteros: todo lo demás es obra del hombre”.(143) “La aparente ausencia de un principio establecido de organización, en la distribución o sucesión de los números primos había traído de cabeza a los matemáticos durante siglos y proporcionado gran parte de su atractivo a la teoría de números. En efecto, era un gran misterio, digno de la mas elevada inteligencia: puesto que los números primos son los ladrillos de los enteros y los enteros son la base de nuestro entendimiento lógico del cosmos, ¿Cómo es posible que su forma no esté determinada por una ley? ¿Por qué la divina geometría no resultaba obvia en este caso?”. (67)
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